2011. 11. 11. 10:41

이거 몇 년 전부터 다시 정리해야겠다 생각하고 있었는데 이제야 업데이트하네요.

 

 

 

1. 문제의 시작

 

여기는 2011년 11월 11일에 쓴 글입니다.

 

 

페이스북 검색에서 6/2(1+2) 하면 나오는 결과....

 

 

 

얼마 전 페이스북을 뜨겁게 달군 이슈가 6/2(1+2)입니다.

저도 물론 한참을

 

(6/2)* (1+2)로 봐야 하는 건가?

6/(2*(1+2))로 봐야 하는 건가?

헷갈렸습니다.

 

프로그래머가 사칙연산 순서가 헷갈리다늬!

 

결론적으로 1이 맞습니다.

 

 

 

2-1. 사칙연산의 우선순위

 

'PEMDAS'로 부르는 사칙연산의 우선순위는 아래와 같습니다.

 

1. 괄호의 우선순위는 괄호(()), 중괄호({}), 대괄호([]) 순이다.

2. 제곱(x²)

3. 곱셈(*)과 나눗셈(/)

4. 덧셈(-)과 뺄셈(-)

 

초등학교 때 배운 내용이니 다들 아시겠죠 ㅎㅎㅎ

문제는 곱셈이 생략된 경우입니다.

 

 

 

2-2. 곱셈이 생략된 경우

 

우리가 학교 다닐 때 맨날 들은 공식이 있죠.

2πr = 원주

 

이런 식으로 곱셈이 생략된 경우는 괄호도 같이 생략되었다고 보는 게 맞습니다.

그러니 실제로는

(2 *π * r)

가 맞습니다.

(2020.03.02 추가 - 이러한 공식은 이 공식을 만든 사람이 어떤 의도로 만들었는 알 필요 없이 누가 계산해도 같은 값이 나와야 합니다.

2πr이 원주 구하는 공식인 것을 알고 있든 아니든 상관없이 항상 같은 값이 나와야 함)

 

 

그러니 다시 문제로 돌아가면

6/(2(1+2))

가 맞다는 걸 알 수가 있죠.

 

 

 

2-3. 계산기에 식을 잘 넣자.

 

일반적인 계산기들은

(6/2)*(1+2)

로 계산하지만 이건 잘못된 식입니다.

 

 

구글도 잘못된 식을 만들어줌

 

 

만약

2/2πr

인 경우라면?

 

π를 3.14

r을 3

라고 놓고 계산해 봅시다.

 

일반 계산기는

2 / 2 * 3.14 * 3 = 9.42

라는 값이 나옵니다.

 

 

 

하지만 2를 반지름이 3인 원의 둘레를 나누면 9.42가 나올 리가 없다는 건 계산을 하지 않아도 알 수 있습니다.

하지만 계산을 해봅시다.

2 / (2 * 3.14 * 3) = 2 / 1.8 = 0.106157113

 

 

 

 

이 방법으로 계산을 하면

6/2(1+2) = 6/(2*(1*2)) = 6/(2*3) = 6/6 = 1

이렇게 됩니다.

(2020.03.02 추가 - 이제 원하는 대로 값이 나왔네요.)

 

이것과 비슷한 문제로 예전에 인터넷을 달군

48/2(9+3)

의 경우도 288이 아닌

48/(2*(9+3)) = 48/(2*12) = 48/24 =2

이렇게 됩니다.

 

변수가 있지 않은 경우 사칙연산법이 다르지 않다면 일반 계산기 값은 틀렸다고 볼 수 있습니다.

곱셈이 생략되는 경우 괄호도 같이 생략된다는 걸 생각해야 할 것 같습니다.

 

이런 이유로 공학용 계산기는 1이 나옵니다.

 

 

 

곱하기가 생략된 경우 괄호도 생략됐다고 판단하는 공학용 계산기

(이것도 기종 나름 인듯-_-;)

 

 

 

2. 2014.02.07 추가

 

문제 자체가 잘못된 거라 풀의 자체가 의미가 없다고 하는데...

여기엔 저도 어느 정도 동의합니다.

 

혼돈이 올 수 있는 식은 잘못된 것이 맞죠.

그래서 그런지 이제는 3파전입니다. ('문제가 틀렸다'가 추가 됨;;)

 

 

근데 전 괄호는 문자로 봐야 한다는 입장이라 식이 틀렸다고 보는 것도 잘못된 거 같은데 말이죠 ㅎㅎㅎㅎ

그래서 '1'이 맞는다고 생각합니다.

 

만약 괄호를 문자로 보지 않으면 문자와 숫자가 뒤섞여 있을 때 곱셈이 생략 된다면(이 글에서 예를 든 '2πr'처럼 ) 다른 값이 나올 수 있기 때문입니다. 

 

저야 프로그래머 입장이니 프로그래머 입장에서 이야기 하자면 컴퓨터에서는 저런 식이 넘어온다면 돌려보냅니다.

컴퓨터에서 사용하는 식은 일상적으로 우리가 생략할 수 있는 것들조차 생략하지 못하게 되어 있으니까요 ㅎㅎㅎ

 

 

 

3. 2020.03.02 추가

 

몇 년 전부터 이거 정리 한 번 해야지.... 하고 있었는데 까먹고 있다가 이제야 다시 정리합니다.

 

 

 

3-1. 심볼과 함께 사용할 때

 

심볼이 들어간 문제의 경우 심볼과 함께 생략된 곱셈을 먼저 계산하지 않으면 다른 값이 나오는 경우가 많습니다.

 

 

여러 콘텐츠를 확인한 결과

심볼을 예로 들어서 설명하는 콘텐츠인경우 '1'이 정답이라고 하고

숫자만 놓고 'PEMDAS'로 계산하는 사람은 '9'가 정답이라고 합니다.

('PEMDAS'의 계산 순서는 괄호 > 제곱 > 곱하기, 나누기 > 더하기, 빼기)

 

 

그렇다면 심볼을 예를 들어 설명해 봅시다.

 

예를 들면 원주의 반이 필요하다고 생각하고 계산해 봅시다.

2/2πr = 2 / (2 * π * r)

이렇게 되죠.

 

만약 이걸 

2 / 2 * π * r

이렇게 계산하면 다른 값이 됩니다.

 

그럼 식을 원주의 6분의 1이 필요하다고 생각해봅시다.

6/2πr = 6 / (2 * π * r )

6/2πr = 6 / (2 * r *  π)

6/2πr ≠ 6 / 2 * π * r

6/2πr ≠ 6 / 2 * r * π

 

 

좀 더 보기 쉽게 

지름을 d = 2r 로 놓고 식을 쓰면

6/dπ = 6 / (d * π) = 6 / (2 * r *  π)

6/dπ ≠ 6 / d * π = 6 / 2 * r * π

 

 

 

3-2. 문제에 심볼을 적용해보자

 

이것을 위 문제에 적용하자면

x=2, y=1+2 일 때

z = 6/x(y)

z = 6/xy

 

 

'PEMDAS'를 주장하는 사람은 여기서 괄호를 생략이 아니라 우선순위에 의해 계산이 끝난 괄호는 제거된다고 표현합니다.

즉 y는 이미 계산이 끝났기 때문에 괄호가 제거됩니다.

 

 

그럼 x = d(원주), y = π(원주율) 로 넣는다면?????

6/dπ = 6 / (d * π)

6/dπ ≠ 6 / d * π

(이건 위에서 여러 번 증명했으니 넘어갑니다.)

 

 

그래서 1이 맞다고 한겁니다.

 

어찌 됐건 심볼로 계산할 때와 숫자로 계산했을 때 규칙이 달라지는 것이 아니라면

곱셈이 생략되었을 때는 괄호가 생략됐다고 봐야 항상 같은 값이 나옵니다.

 

 

3-3. 심볼 사용시 괄호를 명시해야 한다.

 

여기서 심볼사용시 괄호를 생략하는 건 묵시적으로 허용된 것이기 때문에 원래는 생략하면 안 된다는 것입니다.

이 묵시적 허용은 계속 허용되었으나 모호성 없애기 위해 1917년에  'Mathematical Gazette'에서 대에 명시적으로 사용하도록 하였다고 합니다.

근데 저는 이게 권고 알고 있었는데 필수인 건...가?

 

이게 필수라면 심볼이 들어간 식의 경우 괄호를 명시적으로 사용해야 하고 

이 문제의 경우 묵시적 괄호 생략이 허용하지 않으니 순서대로 '6 / 2 * (1 + 2)'가 되어야 하고 위의 식은 맞는 식이고 9가 나와야 합니다.

 

4. 2021.12.24 추가

Korea Science - (2016)

A Study on the mathematical notation of expression in terms of skipping the parenthesis
괄호 생략 관점에서 식의 표기에 관한 고찰

 

내용요약 - 

본 연구는 오늘날 사용되는 식의 표기를 괄호 생략의 관점에서 고찰하였다. 먼저 연산 기호 생략 규칙과 관련한 초·중등 교과 내용을 검토해본 결과, ‘48÷2(9+3)의 계산 결과는 얼마인가?’라는 물음에 답할 명시적 근거를 찾기 어려웠다.

 

서론에서 논란이 된 산술식의 해석에 대한 혼란 예방을 위해 곱셈이 생략된 경우는 함수의 이미지로서 간주되어야 한다는 원칙을 명시할 것을 제안한다.

 

 

 

마무리

 

요약하자면

 

괄호 생략이 허용되는 경우는 1이 맞는 답이고

괄호 생략이 허용되지 않는 경우는 9가 맞는 답입니다.

 

이거에 대해서는 또다시 구글링을 해야 할 것 같습니다.

자료가 영어인데 영어가 짧아서 ㅜㅡ

 

 

 

지금 보니 곱하기를 더하기로 써논 게 몇 개 있었네요 ㅎㄷㄷ

댓글에도 그대로 붙여서 더하기로 되어있네;;;;

핫 포스팅
  • 지나가다가
    2011.11.13 00:46

    무슨 근거로 이게 1이 맞다고 하는지 모르겠네요. 제가 볼 때는 계산기와 구글이 내놓은 답이 옳다고 보입니다.
    /, *는 왼쪽으로 오른쪽으로 결합해서 계산한다는게 사칙 연산 법칙에 포함이 되어있습니다. 그리고 괄호는 특별한 경우로 이것이 붙으면 곱하기 나누기 보다 우선순위를 높입니다.
    따라서 6 / 2 * (1 + 2) = 6 / 2 * 3 = 9 죠.
    님이 올린 글의 오류는 이 중요한 우선순위를 조작하는 괄호를 임의로 붙이는 것부터 시작합니다.
    6 / 2 * (1 + 2) != 6 / (2 * (1+2)) 죠..

    만약 계산기와 구글의 결과값이 틀리다면 연산법칙 로직에 문제가 있다는 말인데 그렇다면 기존의 모든 컴퓨터 프로그램 로직에 문제가 있다는 말이고 제대로 동작할 리가 없지요.

  • 2011.11.14 15:55 신고

    일단 저 계산식은 컴퓨터 로직으로는 사용할수 없습니다-_-;
    왜냐하면 컴퓨터 로직에서는 곱샘을 생략할수 없기 때문입니다.
    그러니 일반적인 컴퓨터 프로그램에서는 아에 사용할수 없으므로 에러가 날수가 없습니다.

    그렇다면 구글과 일반계산기는 왜 (6/2)+(1+2)로 계산하느냐? 당연이 사칙연산의 우선순위대로만 계산하게 되어 있기 때문입니다.

    위글을 읽어보셨다면 왜 괄호를 붙이는지 나와있지만 다시 설명하자면
    2/2πr의 경우를 님의 말씀대로 풀이하면 위와 같이 잘못된 값이 나옵니다.

    그래서 그런지 공학용계산기에서는 1이 나옵니다.
    이것은 일반적으로 알려진 공식을 넣는 경우 명백히 오류가 나기때문에 곱샘이 생략된경우 곱셈을 우선하게 되어있기 때문으로 생각됩니다.
    이것은 이 포스트를 읽었다면 당연이 이해할만한 내용이입니다.

    2/2πr를 님이 말씀하신 원리대로 계산했을때 의미있는 값이 나오게 설명을 해주셔야 님의 주장을 이해할수 있을듯 합니다.

  • 2022.07.31 20:05

    이거는 9임 왜냐면 1+2를 먼저하고3이나오니까 6나누기 2하고 3곱하기3을 하면 9가 나오니까 정답은 9 근데 하나의 향으로 계산하냐 별개의향으로 계산하는거에 따라9다 1이다가 갈리는거임

  • 2022.07.31 22:38 신고

    곱셈을 생략했을때 별개항이 맞느냐에 대한 논쟁인거죠 ㅎㅎㅎ

  • 오연주
    2011.11.21 16:55

    저도 궁금해서 찾아봤는데요 2가지 풀이가 될수 있는데 문제가 6/2(2+1)일 경우는 님말씀대로 1이 되구요
    6÷2(2+1)은 6÷2×3 으로 계산해서 9가 된대요~~
    그리니 2/2πr과는 풀이자체가 다른거죠 ㅎㅎ

  • 2011.11.21 18:12 신고

    일단 제가 찾아본 결과로는 이 식자체가 잘못된게 맞습니다.
    이 풀이에서의 함정이 2πr은 2πr자체가 하나의 결과로 봐서 (2πr)가 된어야 한다는 것입니다.
    (님께서 지적하신것이 맞습니다 ^^;)
    여기서 결국 제가 한것은 사용자의 의도에 따라 값이 변하는 수식은 틀린수식이라는 것이 되었습니다 ㅡ.-;;

    그런데....이 포스트 조회수가 엄청난데도 이걸 지적하는 사람이 님이 처음이셨습니다 OTL
    (p.s.의 힌트는 아무도 안보시는 건지-_-;)

  • 2011.12.08 21:09

    저 어머니 아버지랑 중국에와서 잇는데요.제 동생이 공부를 안하면 안되서 중국 초등학교를 보냇는데.
    거기 5학년 상권에 방정식을 배우면서 곱하기를 생략하는걸 다 배우는데-_-...
    3X=21이면 3*X=21 3xX=21 이예요
    \

  • 2011.12.08 21:38 신고

    그렇다고 곱하기 생략을 아무대나 쓸수 있는게 아닙니다
    -_-;
    그렇기 때문이 식자체가 틀린거고요.

  • 2011.12.08 21:10

    뭐 페이스북을 뜨겁게 달궛다고,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

  • 2011.12.08 21:37 신고

    제가 받은 설문에 참여한사람만 수천명이 넘었는데 그게 안뜨거운거면 뭐가 뜨거운건가요? ㅎㅎㅎㅎ

  • 222
    2011.12.09 23:32

    결론은 뭔가욬ㅋㅋㅋㅋ 해결될것같다가 미궁으로 빠졌음요 ㅠㅠ

  • 2011.12.10 19:30 신고

    결론은 식이 틀렸으니 맞는 답이 있을수 없다 입니다 ㅎㅎㅎ

  • 2014.01.07 11:25 신고

    ....였는데 결론은 '생략된 곱샘에 우선순위를 주지 않으면 의도한 것과 다름 값이 나온다' 입니다.

  • h
    2012.04.09 03:25

    1번. 길이가 2cm인 실을 반지름이 3cm인 원통에 몆 번 감을수 있는가..? 하는 문제와 
    2번. 2÷2x3.14x3=? 의 문제는 다르다고 생각 합니다. 
    연산순서의 우위가 아니라 어떤것이 가장 우선순위의 논리인가를 판단해야 하므로 
    1번 문제는  2÷원의둘레길이= 의 방법으로 풀어야 하겠지요
    따라서, 2÷[2x(π)x(r)]= 이 옳은 식이 되고 답은 '0.10615711번 이라는 값'이 나올것 입니다 
    2번 문제는 연산 순서의 법칙대로 '9.42라는 숫자'가 나올 것이구요..
    글쓴님도 이러한 점을 염두에 두고 오류를 지적하신 거라 생각합니다.

    하지만 6÷2(1+2)= 의 문제와 같이 논리구조에 대한 설명이나 표기가 없는 경우, 

    수식 어디에도 [2x(1+2)] 가 의미를 지니는 값이므로 우선순위에 두어야 한다는 표현은 없습니다. 
    생략된 곱셈부호가 다른 연산보다 우선해야 한다는 법칙 또한 없지요 

    따라서, 6÷2(3)= 으로 정리하고, 왼쪽부터 계산한 9라고 생각합니다만..

    정리) 예로 드신 문제에서 2πr의 계산이 우선시 되야 하는 이유는 곱셈이 생략된곳에 괄호가 생략되었기 때문이 아니라  2πr='원의 둘레길이 값' 이라는 의미를 지닌 식이기 때문에 우선하여 계산 해야 합니다.
    1번 문제로 이해하고 2번으로 표기하여 
    풀었기에 결과값의 차이가 있는 거죠 

    질문) 곱셈이 생략되는 경우 괄호도 같이 생략되어 있다고 하셨는데, 그럼 생략된 곱셈연산이 표기된 곱셈 나눗셈 연산보다 우선순위 라는 뜻인가요??

  • 2012.04.09 15:48 신고

    우리가 원주를 구하는 식이 '2πr'라는 것을 알고는 것이 중요한것이 아니죠.
    모르는 사람인 경우 사칙연산 순서대로 '2/2*π*r'가 되고 다른 값이 나오게 됩니다.

    간단하게 설명하자면
    c=ab라고 할때 c는 a와 b의 곱셈입니다.
    결국 곱셈기호가 생략된다는것은 '앞의 값과 뒤에 값의 곱샘된 결과값' 이라는 의미가 됩니다.
    이것을 '6/2(1+2)'에 대입해 보자면
    6/c=6/(2(1+2))
    이렇게 된다는 의미가 됩니다.

    이것은 일반적으로 곱셈부호를 생략한경우 하나의 수(계산이 완료된 하나의 상수)로 보기 때문인데.....이것이 원래 맞는 것인지는 모르겠습니다 ㅡ.-;;;
    (제가 수학자가 아니라서;;)
    원래 맞는 것이라면 생략된 곱샘이 더 우선순위가 높습니다.

  • ㅇㅅㅇ
    2012.09.01 19:51

    곱샘 이 아니라 곱셈 입니다

  • 2012.09.02 12:22 신고

    찾아서 수정 했습니다.
    감사합니다.

  • 2014.02.07 13:32

    그런데요 제 기억에는요 괄호 앞에있는 곱셈은 생략한다고 배운것 같거든요? 틀릴 수 도 있겠지만요 제기억이 맞다면 정답이 9가 맞는거 아닌가요? 그리고 뭐 잘은 모르지만 공학용 계산기는 용도가 따로 있어서 사용 하는걸로 알고 있는데 계산법이 다른점도 있다고 들었습니다만..

  • 2014.02.07 17:07 신고

    아....까먹고 있었네요.
    이거 떡밥 해결됐다고 해야하나..
    '일단 사람들이 혼란의 여지가 있으면 안된다'
    가 중요하기 때문에 틀린식이라고 보는 것이 맞을 것 같습니다.

    굳이 계산해야 한다면 생략된 곱샘부터 해야 하는게 맞습니다.

  • 지나가다가2
    2014.02.07 16:52

    1/3*3 이 1/9 라는 소리 하고 있네 ㅋㅋㅋㅋ 9가 정답 맞습니다.

  • 2014.02.07 17:24 신고

    우와 그럼 π가 3.14고 r이 10 일때
    2/2πr
    좀 계산해 주시겠어요?
    ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

    아 그리고
    1/9는 1/(3*3)랑 같은 의미입니다.
    곱셈해서 나온 결과 자체가 계산이 끝난 수인데 뭔소리 하시는 건가요?
    곱셈자체가 덧셈의 연속인데 이걸 풀어쓸때
    1/9 = 1/1+1+1+1+1+1+1+1+1
    이렇게 풀어쓰는 사람이 어디 있나요.
    1/9 = 1/(1+1+1+1+1+1+1+1+1)
    이렇게 풀어쓰죠-_-;

  • 2014.10.04 00:30

    9가 맞죠 2πr은 그 자체를 하나의 값으로보는건데 그걸예로드시면안되죠 사칙연산은 무조건 괄호 -중괄호-대괄호-곱셈 나눗셈 - 덧셈뺄셈 - 앞에서부터 순서대로 입니다 무조건이요 생략이되었더라도 곱셈은 곱셈이죠

  • 2014.10.04 17:25 신고

    그러니까 곱셈이 생략될 때는 괄호도 같이 생략된 걸로 보는것이 맞다는 설명입니다.
    그리고 값 자체로 보는 건 'π'나 'r'같은 상수를 말하는 것이고 '2πr'는 수식입니다.
    수식이라는 건 '2πr'이 원의 둘레를 구하는 공식인지 모르는 사람이 계산했을 때도 같은 값이 나와야 하는 겁니다.
    결국 '2πr'에 괄호가 생략됐음을 인정하신 겁니다.
    그렇다면 이야기가 쉬워지죠.(이게 제가 이야기 하고자 하는 것이니까 말이죠 ㅎㅎㅎ)
    이런 룰은 보통 학자들이 정하는 것이긴 하지만 일반 사람입장에서는 한곳에서 적용된 룰은 다른곳에서도 그대로 적용된다고 생각하시면 됩니다.
    그러니 우리가 흔히 외우고 있는 수식에서 적용되는 룰은 새로 만든 수식에도 적용됩니다.

  • 지나가다
    2015.02.24 14:50

    링크로 들어왔는데

    글안읽고 댓글 다는 사람 참많네요

  • 2015.02.24 23:52 신고

    이런류의 포스팅에 달린 댓글을 보면 채감상 반정도는 포스팅을 보지도 않고 작성하고 나머지 반에 반정도는 초반만 살짝 읽고 댓글단다는 느낌이 강합니다-_-;
    어떤 글을 보니까 난독증이 있으면 3줄이상의 글을 읽기가 힘들다고 하는데 그거랑 관련이 있는게 아닌가하는 생각을 가끔합니다 ㅎㅎㅎㅎ

  • 슬럽
    2015.07.21 11:59

    저도 궁금해서 댓글다는겁니다
    위쪽에서 원주율 그러니깐 2πr 을 예로 들고계시는데 이건 하나의 '식'으로 이해가되어서 2*(2πr)이라는 식으로 이해를 하는게 맞지 않나 라는 생각을 가지고 있구요 이거를 분배법칙이든 소인수분해든 적용하면 모두 다 적용됩니다.

    부분적으로 소인수 분해를 이용해서 풀어보면
    6/2(1+2)
    = 6/2(1+2) -----------> 앞에 1을 빼고
    = 6/2x1(1+2) ----------> 이러면 뭔가 느낌이 오시나요?
    = 3x(1+2)
    = 9

    분배법칙으로도
    6÷2(1+2)
    =6÷2x1+6÷2x2
    =9

    이건 어떻게 생각하시나요???

  • 2015.07.21 12:38 신고

    괄호를 생략된것으로 보느냐의 문제여서 괄호를 생략했다고 보시면 결국 같은 값이 나옵니다.

    소인수분해
    6/(2(1+2))
    = 6/(2*1(1+2))
    =6/(6)
    =1

    분배법칙
    6/(2(1+2))
    = 6/((2*1) + (2*2))
    = 6/(2+4)
    = 1

    덧글에서 계속 하는 이야기는 것은 '2πr'을 하나의 완성된 식으로 보는건 잘못되었다는 것입니다.
    '2πr'을 모르는 사람이 보았을때 다른 값이 나올 수 있다는 것인데 식이라는 것은 '2πr'을 모르는 사람이 봐도 같은 값이 나와야 하죠.

    예를들면
    x = 2 / mc²
    를 계산할때
    'E=mc²'을 모르는 사람과 아는 사람의 값이 다르면 안된다는 것입니다.

    역으로 보자면 'mc²'을 모르는 사람도 'mc²'을 완성된 수식으로 보기위해선 특정조건(곱셈이 생략되는 경우)의 경우 완성된 수식으로 봐야한다는 조건이 필요한데 그런경우 특정조건에 의해 괄호가 생략되었음을 의미하게 됩니다.
    (완성된 수식은 괄호가 없는 경우 위에서 설명한 혼란이 일어나기 때문입니다.)
    결국 생략된 곱셈은 생략된 괄호를 동반한다는 의미가 되죠.

  • tas21c
    2015.11.21 11:01

    일단 문제는 6나누기2(1+2) 입니다. 6/2(1+2)가 아니고요. 나누기가 키보드에 업네요... 여튼 위에 공학계산기 사진 식참조하세요

    이 사칙연산의 식을 함수로 두면 답은 무조건 정수가 나옵니다. 1이든 9든 어쨋든 정수가 나오는데 이건 상수함수라서 그래프는 답이 1개입니다. 2개나 3개일려면 이차 삼차 방정식이어야하는데 이건 사칙연산이니까 방정식이 아니죠. 따라서 답이 뭐든간에 1개입니다. 답이 여러개다, 또는 식이 잘못됫다' 이건 아닙니다. 문제는 정상이에요.

    그럼이제 1이냐 9이냐의 논쟁인데 6나누기2(1+2)일때 사칙연산 법칙에 의해 괄호먼저 계산합니다. 오해하시는게
    6나누기2(1+2) = 6나누기2 x (1+2) 는 의미가 다릅니다. 이런식으로 되면 곱하기와 나누기 순서가 애매해지므로 문제출제가가 괄호를 준겁니다. 따라서 이문제는 식이 잘못된게 아니라 오히려 철저히 세워져서 푸는사람에게 혼동을 주지않으려는 노력이 보입니다.

    괄호부터 계산하면 답은 1입니다. 나누기먼져 계산하시는 분은 괄호를 무시한거고 사칙연산의 1법칙을 무시하신겁니다.답1이에요

    그래도 이해안가신 분들. 이건만 기억하시요. 문제 틀린게 아니고 답이 2개도 아닙니다. 답이 뭐든간에 1개고 식이 틀린것도 절대 아닙니다. 함수가 증명해줬어요.

  • tas21c
    2015.11.21 10:57

    글고 구글계산기 들고와서 따지지 마세요. 님들 구글번역기 영어로된거 믿으시나요...
    원래는 6나누기2(1+2) 해야하는데 구글은 6/2*(1+2) 로한겁니다. 위에 공학계산기 사진 잘보세요.
    답은 하나다. 식이 틀린거 아니다. 으아아아아앙아ㅏ아ㅏ아

  • 2015.11.21 11:29 신고

    맞습니다.
    이글 정리해야지 해야지 하고 있다가 결국 tas21c님께서 정리해주셨네요 ㅎㅎㅎㅎ
    식이 틀렸다는 것은 예전에 이 논쟁이 한창일때 '여러답이 나온다'의 의견을 가지신분들이 했던 주장이고 저도 '이렇게 봐야 하나?'해서 그런이야기를 한것인데 결론은 '여러답이 나오지 않는다.' 였기 때문에 다시 '괄호가 생략된 것으로 봐야 한다.'로 결론을 내린것입니다.
    이 글의 중점은 '왜 곱하기가 생략될때 괄호가 생략 된것으로 봐야 하는가?'에 대한 설명이고 님께서 하신 말씀이 맞습니다.
    컴퓨터에서는 '÷'와 '/'를 같은 연산자로 봅니다.
    그래서 인터넷 상에서 '÷'대신 '/'를 쓰는게 흔이 볼 수 있는 현상이죠 ㅎㅎㅎ

  • 2016.01.26 03:14

    우연히 링크를 보고 들어왔다가 한말씀 드리겠습니다.
    우선 위의 수식의 답은 9입니다.
    이는 /기호가 ÷과 같기 때문인데
    A÷B×C의 계산은 좌측부터 순서대로 하는 것이 맞습니다.
    글쓴이분께서는 2(1+2)앞에 괄호가 생략되어있다고 말씀하셨는데
    상수와 괄호 그리고 연산부호 사이에서 괄호가 생략되는 경우는 없습니다.
    답이 1이 나오기 위해서는 수식이
    6÷{2(1+2)} 가 되어야 합니다.
    하지만 여기서 /를 나눗셈 부호로 보지 않는다면
    1이란 답이 나올 수도 있습니다.
    무슨 말 인가 하면
    'A/B'를 'A분의B'라는 소수로써 받아들이는 경우인데, 일반적으로 'A분의B'는 A÷B의 값과 같기 때문에 같은 것이라 생각할 수 있지만, 이는 A B가 수식이 아닌, 하나의 상수일 경우에 해당하는 것으로 수식에 대입을 했기 때문에 위의 수식같은 오해가 발생한 것 입니다.
    글쓴이님께서 /를 연산부호가 아닌, 분수를 표기하는 것으로 알고계셨다면 글쓴이님의 계산대로 답은 1이 맞습니다. 다만 이 경우에는
    6÷{2(1+2)}=1 이라는 수식이며
    {2(1+2)}부분이 소수의 분모가 되며
    아무런 연산부호가 선행되지않는 중괄호가 필요 없어짐에 따라 표기상 삭제되는 것 입니다.
    그리고 한가지만 덧붙이자면
    앞서 말씀드린대로 /는 ÷부호를 말하는 것으로 *과×를 같은 것으로 취급하는 것과 같은 이치입니다.
    따라서 글쓴이님께서 /를 분수로 받아들이셨다면 그 부분에도 오해가 있었던것 같습니다.
    상당히 오래 전 글임에도 우연히 링크를 타고 보게되어 어쩌다보니 긴 댓글을 남기게 되었는데
    글쓴이님께서 기분나쁘셨다면 죄송합니다. 제가 글재주가 없어서요. 그럼 건강하시길.

  • 2016.02.05 21:49 신고

    여기서 괄호가 생략된것으로 본다는 것은 '생략된 곱샘은 한개의 항으로 취급한다'를 설명하기 위한것입니다.
    즉, 본문에서처럼 원주율을 예로 들면 '2÷2πr = 2÷(2*π*r)'를 의미하는 것이지 '2÷2πr ≠ 2÷2*π*r'라는 것입니다.
    이것은
    2a = 2*a
    라고 해서
    2*2a = 2*2*a
    로 계산하면안되고
    2*2a = 2*(2*a)
    로 계산해야 하는 것과 같습니다.
    원래 '4*5'에서 곱샘을 생략하려면 '4·5' 이렇게 적어야 하고 결과값은 (4*5)와 같은 값이 됩니다.
    문제가 잘못됐다는 입장에서 '·'빠진것은 중대한 문제고 저도 이 입장에서는 문제가 잘못됐다고 보는 입장입니다.(그러니까 이 문제에서 '·'를 빠지면 안된다고 본다면 틀린문제다.)
    '·'가 빠진걸 곱샘으로 취급한다면 매번다른 룰이 적용되는 것이 아니라 같은 룰이 적용되야 한다는 것이죠.
    여기서 '÷'를 '/'로 보느냐 문제는 크게 의미가 없습니다.
    (6/2)*(1+2)로 보느냐 6/(2*(1+2)) 로 보느냐가 문제이기 때문입니다.
    결국 '÷'를 분수로 보던 안보던 값은 똑같습니다.
    (6/2)*(1+2) = 9, 6/(2*(1+2)) = 1
    (6÷2)*(1+2) = 9, 6÷(2*(1+2)) = 1

  • 2016.06.22 22:37

    9가 어떻게하면 나오는거죠??

  • 2016.06.23 22:59 신고

    (6/2)*(1+2) = 9, 6/(2*(1+2)) = 1
    곱셈이 생략될때 괄호도 같이 생략된다고 보지 않는다면 9가 나옵니다.

  • 123
    2020.04.11 01:23

    6÷2*(2+1) = 6÷2(2+1) = 6/2*(2+1) = 6/2(2+1)
    =9
    입니다.

    프로그래머 입장에서는 애매하지 않습니다.
    이미 연산자 우선순위와 결합법칙 방향이 다 결정되어 있어요.
    1이 될려면 무조건 6/(2(2+1)) 형식으로 괄호가 있어야만 합니다.
    생략될 수 없어요.

  • 2020.04.11 05:34 신고

    클라이언트가 이런식으로 식을 보내면 돌려보내야 합니다.
    클라이언트가 어느쪽으로 이해하고 식을 보냈는지 프로그래머가 알수 없기 때문이죠.

  • 넷상이
    2021.12.24 02:33

    1이 답이죠 ㅎ 10년전 글이 지금까지 이어졌다니 곧 2022년이네요 !! 메리크리스마스, 새해 복 많이 받으세요 !!

  • 2021.12.25 18:03 신고

    댓글달린김에 자료를 또한번 찾아봤는데....
    양쪽다 명확한 근거가 없다는건 맞는 말입니다.
    하지만 곱샘이 생략된경우 함수의 의미로 써야 한다는 게 저의 주장입니다.

  • 언제나
    2022.02.25 10:52

    곱셈 기호는 생략되어도 괄호는 생략되지 않습니다. 님이 계속 주장하시는 2πr 관련 식도 미찬가지 입니다. 10÷2πr 이라고 쓰는게 아니라 분수 형태로 2πr이 온전히 분모에 들어가 있을때 전체로 나누는거죠. 10÷2πr= 10÷2*π*r 이 맞습니다.
    10
    —— 이런 모양일때와는 전혀 다른 얘기 입니다.
    2πr

  • 2022.02.25 14:57 신고

    2πr가 분수형태로 들어가려면 2πr가 온전한 함수라는걸 알고 있어야 한다는 전제가 깔려야 한다는 거고 이것 자체가 괄호가 생략된다고 본다는 겁니다.
    안그러면 원래는 함수로 계산되야할 식이 함수에에서 떨어져 나와서 분리해 다른곳에 들어갈 가능성이 있기 때문입니다.
    그래서 본문에 링크된 한국학교수학회논문집에 실린 논문에서도 함수형태의 수식은 괄호가 생략되었다고 보는 규칙이 추가되지 않으면 이런 혼란이 계속될거라고 하고 있는 겁니다.

    10÷2πr = 10 / 2πr
    10÷2πr = 10 / 2 * π * r ???????????????????
    5 *π*r = 10/2*π*r ???????????????

    10/2πr = 10/(2*π*r) 라면
    10/(2πr) = 10/(2*π*r)
    10/2πr ≠ 10/2*π*r

  • ㅇㅇㅇ
    2022.04.25 01:18

    우연히 봤는데요 공학용계산기 예로 들고 오셨는데 wolframalpha 가서 똑같이 치시면 9나옵니다. 본문에 써있는 것 처럼 공학용계산기도 기종마다 다르지만 디테일하게 괄호 여부를 따지는 공학용계산기나 wolframalpha에서는 9가 나옵니다.^^ 문제는 2(1+2) 부분이 괄호가 생략됐냐 아니냐인데 생략된걸로 봐야한다는 생각 자체가 그릇된 것 같습니다. 식의 의도가 불분명한것은 말씀 하신 것 처럼 문제가 잘못된거겠지만 푸는 사람 입장에서는 의도가 불분명할 때 원칙을 따르는 것이죠. 사칙연산의 원칙은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하는 것이고 2(1+2)가 들어간 경우 한묶음으로 봐야한다는 원칙을 정해놓은 적이 없습니다. 문제 속에 별다르게 정해놓은 규칙 및 설명이나 표기가 없는 한 미리 정해놓은 대전제를 원칙으로 하는 것이 더 옳지 않을까요?

  • 2022.04.25 01:29

    10÷2πr = 10 / 2πr
    10÷2πr = 10 / 2 * π * r ???????????????????
    5 *π*r = 10/2*π*r ???????????????

    10/2πr = 10/(2*π*r) 라면
    10/(2πr) = 10/(2*π*r)
    10/2πr ≠ 10/2*π*r

    위에 나온 이 식에서도 작성자 님께서 의도를 갖고 마음대로 괄호를 넣었다 뺐다 하기 때문에 발생한 것 같습니다. 명백히 보면 모든 2πr에는 괄호가 들어가야 맞는 거죠. 단지 우리가 2πr을 당연한 한 묶음처럼 인식하기에 풀때 괄호를 안쓰고 푸는 것 뿐이지 문제가 별도의 설명 없이 10/2πr이 주어지면 5πr이 맞습니다. 이는 10/2*π*r과 동일하구요. Wolframalpha에서도 해당식을 5πr 로 보여주네요.

  • 2022.04.25 03:07 신고

    원래는 10/2πr = 10/2*π*r = 5*π*r입니다.
    저 식자체가 의도한 것이
    [10을 2πr로 나눈다]라는 의미에 부합하지 않는 다는 것을 설명한 것입니다.

    일반적으로 곱샘을 생략하지 않으면 묶음으로 인식하지도 헉갈리지도 않습니다.
    그것을 설명하기 위한 식입니다.

    괄호를 마음대로 뺏다 넣었다 하는게 아니라 제가 말하는건 괄호가 생략된다고 봐야 한다는 것인데 다들 말로는 아니라면서 괄호를 넣은것처럼 계산하고 있어서 그걸 지적한것이죠.
    결국 괄호가 생략된게 아니라면서 명시적으로 괄호를 넣는것과 같다는 것입니다.

    많은 식이 곱샘을 생략하고 우선적으로 그것을 계산하는 식과 아닌 식들이 뒤엉켜있어서 발생하는문제가 뒤엉켜 있는것이 이 문제의 핵심입니다.

    2πr과 같이 이미 괄호를 명시하지 않고 묶음으로 쓰고 있지만 이런 식들은 괄호 없이 일반적은 계산기에 넣으면 그냥 곱샘으로 퉁칩니다.
    의도한 계산식이 나오지 않는다는 것이죠.

    간단하게 해결하려면 괄호를 명시해야 하는 것이고
    일반적으로 위와같은 식을 사용할때는 괄호를 명시합니다.
    문제는 별생각없이 괄호까지 생략하는 경우가 많다는 것이죠.(당장 2πr로만 검색해도 괄호까지 생략한 식이 수두룩 하게 나옵니다.)

    기존엔 룰이 없는게 맞고 룰이 없다면 기존 전제를 우선하는게 맞습니다.
    하지만 계속 지적했듯이 사람들이 그 전제대로 쓰고 있지 않다는게 문제죠.
    이럴때는 어느쪽이던 명시를 위해 룰을 추가하는수 밖에 없는것이죠.

  • ㅇㅇ
    2022.07.31 21:02

    글 잘 읽었습니다! 제가 중학생 때 이 문제가 되게 반에서 유행했던 기억이 있는데 지금은 선생님이 되어서 애기들 수업 준비하다가 다시 보게 되네요. ㅎㅎ
    답이 1이냐, 9냐, 문제가 잘못되었다를 떠나서 대부분의 사람들이 답을 1로 적었다는 걸로 알고 있는데, 여기 댓글은 9라고 답을 적으신 분들이 대다수인게 참 재미있어요.
    역시 사람은 자신이 특별해보이고 싶은 존재인가봐요.

  • 2022.07.31 22:38 신고

    양쪽다 각자의 논리가 있으니까요.